Родился в семье экономиста. Его отец, Иван Викторович (1870-1939), был сыном священника и окончил юридический факультет Киевского университета. Его мать, Евгения Ивановна Поволоцкая (1876-1935), дочь генерал-лейтенанта, получила медицинское образование. Вначале Александр Введенский вместе со своим братом учился в кадетском корпусе, но в 1917 году (по настоянию матери) братья были переведены в гимназию им. Л. Лентовской, которую окончил в 1921, не сдав экзамена по русской литературе. Именно в гимназии познакомился с Леонидом Липавским — будущим теоретиком ОБЭРИУ. Тогда же Введенский начал писать стихи. По окончании гимназии (которая стала к тому времени «трудовой школой») поступил сначала на правовое отделение факультета общественных наук Петроградского университета, затем на китайское отделение Восточного факультета, но вскоре бросил учебу. Работал письмоводителем, затем в 1921 — 22 на электростанции «Красный Октябрь».
Затем Введенский познакомился с Даниилом Хармсом, который стал его близким другом. В 1925 они выступили в имажинистском сборнике «Необычайные свидания друзей» со своими стихами. В 1924 вступил в Ленинградский союз поэтов, при вступлении причислил себя к футуристам.
В 1927 Введенский и Хармс создали литературно-театральную группу под названием «ОБЭРИУ» — Объединение Реального Искусства. Обэриуты проповедовали абсурдизм, примитивизм в поэзии, утверждая устами основателя движения, что интересны только бессмысленные явления. Введенский не играл в ОБЭРИУ никакой организаторской роли — эти функции взял на себя Даниил Хармс. Участники объединения проводили творческие вечера, самый эксцентричный, известный вечер группы состоялся 24 января 1928 года в Доме печати на Фонтанке и назывался «Три левых часа». Введенский читал на этом вечере свои стихи. В это же время Введенский, Хармс и некоторые другие ОБЭРИУты по предложению С. Я. Маршака начали сотрудничать с детскими журналами «ЕЖ» и «ЧИЖ». Александр Иванович практически постоянно печатался в них. А впоследствии даже перевел несколько сказок братьев Гримм.
Дистанцируясь от футуристов с их утопиями светлого будущего, Введенский был близок ко многим поэмам Велимира Хлебникова. Он, так же как Хлебников, предпочитал упрощенную рифмовку и метрику, нередко отсылающую к классическим текстам (например, в «Элегии» очевидны ритмические и тематические переклички с Пушкиным и Батюшковым). Так же, как Хлебников, он умышленно то тут, то там сбивается с ритма, переходя на прозаизированный свободный стих. Но, в отличие от Хлебникова, Введенский весьма далек от романтизации прошлого или будущего. Его интересовали только три вещи: время, Бог и смерть. «На смерть, на смерть держи равненье, / певец и всадник бедный» («Элегия»). Хлебников верил в законы времени, Введенский считал, что время открывает себя только в смерти. Одно из последних поэтических восклицаний: «Ах! Пушкин, Пушкин» — передает крушение цивилизации не только на историческом, но и на метафизическом уровне.
Всегда окруженный влюбленными в него женщинами, Введенский, по воспоминаниям современников, был тем не менее «абсолютно безбытным».
«Последние левые» довоенного Ленинграда, ОБЭРИУты продержались недолго. В печати появились резкие отклики на их публичные выступления, комсомольская аудитория которых, судя по этим откликам, была скандализирована аполитичностью «непонятных» поэтов. В конце 1931 г. был арестован вместе с другими ОБЭРИУтами (на Введенского поступил донос о том, что он произнес тост в память Николая II, существует также версия, что поводом для ареста послужило исполнение Введенским на одной из дружеских вечеринок «бывшего гимна»), выслан в 1932 г. в Курск (жил там некоторое время вместе с Хармсом), затем жил в Вологде, в Борисоглебске. Приехав с женой в ссылку, он, как рассказывают, тотчас обвел глазами каморку, нашел табуретку, единственную мебель, вынул огрызок карандаша и тетрадь из кармана пальто и начал писать.
В 1934 году становится членом Союза писателей. С 1936 г. из Ленинграда, куда ему дозволено было вернуться, Введенский переехал к новой жене Галине Борисовне Викторовой ( 1913, Москва-1985, Харьков) в Харьков, где жил в полной изоляции от литераторов; в 1937 г. родился сын Петр Александрович Введенский ( 1937- 1993). Крестным отцом и матерью Петра стали художники Елена Васильевна Сафонова и Владимир Васильевич Стерлигов.
27 сентября 1941 г. Александр Введенский был арестован по обвинению в контрреволюционной агитации. В связи с подходом немецких войск к Харькову был этапирован в эшелоне в Казань, но в пути 19 декабря 1941 г. скончался от плеврита. Его тело было доставлено в морг Казанской психиатрической больницы.
При жизни печатался в основном как детский поэт. С 1960-х тексты Введенского, как и других обэриутов, ходят в самиздате и печатаются на Западе (часто в неполном и искаженном виде); полные публикации его наследия начались только с конца 1980-х годов (напр. Собрание сочинений в 2 т. М.: Гилея, 1993). При этом публикаторы не прислали вдове Введенского Г. Б. Викторовой и ее сыну Борису Викторову ни одного экземпляра его изданий, а одолженные рукописи, как правило, не возвращали. Впоследствии публикации были прерваны, так как получивший доверенность от Бориса Викторова литературовед Владимир Глоцер стал предъявлять высокие гонорарные требования к издательствам («наследникам надо платить»), угрожая в противном случае судебным преследованием. Это привело к тому, что сборники поэтов ОБЭРИУ стали выходить с чистыми листами на месте, где должны были быть стихи Введенского.
После смерти Глоцера, в ноябре 2010 года, вышел новый 700-страничный сборник произведений Введенского под названием «Все», составленный Анной Герасимовой. В сборник вошли «почти все «взрослые» произведения» автора.
17 июля 2011 года в рамках 1-й Петроградской академической велоночи Москультпрога-2001 на фасаде дома 37 по Съезжинской улице в Санкт-Петербурге, в котором поэт проживал до 1936 года, была установлена мемориальная арт-доска.