Родился в деревне Блудново Вологодской губернии в крестьянской семье. Первыми наставниками поэта стали учителя школы-семилетки и педагогического техникума в районном городе Никольске, который Александр Яшин окончил в 1931 году. Печататься Яшин начал в 1928 в районной газете “Никольский коммунар”, в уездной газете Великого Устюга “Советская мысль” и в центральной периодической печати. Будучи еще учащимся педтехникума, он становится участником Первого губернского съезда писателей в Великом Устюге. По окончании техникума Яшин учительствовал в деревне, много читал, писал стихи, сотрудничал в Вологодских и Архангельских газетах.
С 1932 года Яшин жил в Вологде, затем в Архангельске, где в 1934 году увидел свет первый сборник его стихотворений “Песни Северу”. После участия в Первом Всесоюзном съезде писателей Яшин в 1935 переезжает в Москву и поступает в Литературный институт им. М. Горького, который окончил в 1941 году.
В годы Великой Отечественной войны уходит добровольцем на фронт и в качестве военного корреспондента и политработника участвует в обороне Ленинграда и Сталиграда, в освобождении Крыма. В 1942 – 1943 изданы его сборники стихов “На Балтике было” и “Город гнева”.
В послевоенные годы Яшин много ездит по стране, совершает поездки по Северу, на Алтай, на строительство гидроэлектростанций, на целину. Впечатления от увиденного нашли отражение в сборниках стихов Яшина “Земляки” (1946), “Советский человек” (1951), в поэме “Алена Фомина” (1949). Также Яшин начинает писать прозу, выходят его рассказы “Рычаги” (1956), “Вологодская свадьба” (1962), повестей “Сирота” (1962), “Угощаю рябиной” (1965) и другие прозаические произведения.
В 1960-е выходят поэтические сборники “Босиком по земле”, “День творения”, “Бессонница”. Перу Яшина принадлежат также прозаические произведения: повести “Сирота” (1962) и “Вологодская свадьба” (1965), рассказы “Угощаю рябиной” (1965) и др.
Многие произведения остались незавершенными. Посмертно, в 1972, вышли два тома “Избранных произведений” Александра Яшина. Яшину во многом обязаны своим становлением в русской литературе поэт Николай Рубцов и прозаик Василий Белов.
Особенное место в жизни Александра Яшина занимала его любовь к поэтессе Веронике Тушновой, которая закончилась разрывом. Они встречались тайно, в других городах, в гостиницах, ездили в лес, бродили целыми днями, ночевали в охотничьих домиках. А когда возвращались на электричке в Москву, Яшин просил Веронику выходить за две-три остановки, чтобы их не видели вместе. Сохранить отношения в тайне не получилось. Друзья осуждают его, в семье настоящая трагедия. Разрыв с Вероникой Тушновой был предопределен и неизбежен.
Умер Александр Яшин 11 июня 1968 от рака, в Москве. Похоронен в Блуднове.