Барков родился в 1732 году в семье священника в Петербурге или близ столицы. Его отчество точно не известно: во всех прижизненных документах и ранних биографиях он называется просто «Иван Барков» (реже «Борков»). С 1820-х годов возобладала традиция называть его «Иван Семенович», хотя в других публикациях того времени есть также варианты «Иван Иванович» и «Иван Степанович».
С 1748 года учился в университете при Петербургской Академии наук, потом служил при нем копиистом. Известно, что учился Барков неровно, несколько раз был сечен розгами за пьянство и хулиганские выходки, однажды — за грубость и ложный донос на ректора университета С. П. Крашенинникова — был даже закован в кандалы. В 1751 году был исключен из университета за «проступки и дерзости». Барков хорошо успевал по латинскому языку; его познания латыни впечатлили М. В. Ломоносова, который в 1754 году взял его к себе в секретари. Барков переписывал набело многие сочинения Ломоносова, включая «Российскую грамматику» и исторические труды. Общение Баркова с Ломоносовым продолжалось до самой смерти последнего, предание приписывает им достаточно тесную дружбу. Под влиянием Ломоносова Барков сам занимался историей и подготовил публикацию нескольких летописей.
Литературное наследие Баркова делится на две части — печатную и непечатную.
К первой относятся: «Житие князя А. Д. Кантемира», приложенное к изданию его «Сатир» (1762), ода «На всерадостный день рождения» Петра III, «Сокращение универсальной истории Гольберга» (с 1766 года несколько изданий). Стихами Барков перевел с итальянского «драму на музыке» «Мир Героев» (1762), «Квинта Горация Флакка Сатиры или Беседы» (1763) и «Федра, Августова отпущенника, нравоучительные басни», с приложением двустиший Дионисия Катона «О благонравии» (1764).
Всероссийскую славу И. С. Барков приобрел своими непечатными эротическими произведениями, в которых форма оды и других классицистских жанров, мифологические образы в духе бурлеска сочетаются с ненормативной лексикой и соответствующей тематикой (бордель, кабак, кулачные бои); нередко в них прямо обыгрываются конкретные места из од Ломоносова. На барковские произведения повлияла западноевропейская, прежде всего французская, фривольная поэзия (схожими приемами пользовались Алексис Пирон и многие анонимные авторы), а также русский эротический фольклор. В Публичной библиотеке в Петербурге хранится рукопись, относящаяся к концу XVIII или началу XIX века, под названием «Девическая игрушка, или Собрание сочинений г. Баркова», но в ней рядом с вероятными стихами Баркова есть немало произведений других авторов (таких, как Михаил Чулков и Адам Олсуфьев, а часто и безвестных). Наряду со стихотворениями, Баркову приписываются и обсценные пародийные трагедии «Ебихуд» и «Дурносов и Фарнос», воспроизводящие штампы драматургии классицизма (прежде всего, Ломоносова и Сумарокова ).
«Срамные (шутливые) оды» Баркова и его современников — важная составляющая литературной жизни конца XVIII — начала XIX века; они, разумеется, не печатались, но, по словам Н. М. Карамзина в 1802 году, были «редкому неизвестны»; полушутя высоко о Баркове отзывались Карамзин, Пушкин и др. В творчестве Василия Майкова, Державина, Батюшкова, Пушкина современные исследователи находят переклички с Барковым. Пушкину-лицеисту на основании ряда весомых свидетельств приписывается пародийная баллада «Тень Баркова» (ок. 1815).
О последних годах жизни Баркова и его смерти в 1768 году в Санкт-Петербурге сведений нет. Известно лишь, что в 1766 он был окончательно уволен из Академии. По одной из легенд, он умер в состоянии психического припадка в момент запоя, утонув в нужнике. По другой легенде Иван Семенович, решив свести счеты с жизнью, написав себе эпитафию — «Жил — грешно, а умер — смешно!», засунул в зад написанное, свернув бумагу сию трубочкой, а головою сунулся в камин, являя тем самым пример, что и на пороге смерти своей не перестал относиться к жизни с юмором.