Родился в деревне Дубровки Тверской губернии в семье сапожника-старообрядца. Участвовал в революции 1905 года, в 1906 году написал ряд стихов на революционные темы. Ранние стихи Клычкова были одобрены С. М. Городецким. В 1908 году с помощью М. И. Чайковского выехал в Италию, где познакомился с Максимом Горьким. Поэт учился на историко-филологическом факультете Московского университета (а после – на юридическом; исключен в 1913 году), затем, во время Первой мировой войны, отправился на фронт; войну окончил в звании прапорщика. В 1919-1921 годах жил в Крыму, где едва не был расстрелян (махновцами, затем белогвардейцами). В 1921 году переехал в Москву, где сотрудничал в основном в журнале “Красная новь”.
Стихи ранних поэтических сборников Клычкова (“Песни: Печаль-Радость. Лада. Бова”, 1911; “Потаенный сад”, 1913) во многом созвучны со стихами поэтов “новокрестьянского” направления – Есенина, Клюева, Ганина, Орешина и др. Некоторые из стихов Клычкова были размещены в “Антологии” издательства “Мусагет”. Ранние клычковские темы были углублены и развиты в последующих сборниках “Дубравна” (1918), “Домашние песни” (1923), “Гость чудесный” (1923), “В гостях у журавлей” (1930), в стихах которых отразились впечатления Первой мировой войны, разрушение деревни; одним из основных образов становится образ одинокого, бездомного странника. В поэзии Клычкова появились ноты отчаяния, безысходности, вызванные гибелью под натиском “машинной” цивилизации сошедшей с пути Природы старой Руси.
Клычков – один из трех авторов кантаты, посвященной “павшим в борьбе за мир и братство народов” (1918).
Клычковым написаны три романа – сатирический “Сахарный немец” (1925; в 1932 году вышел под названием “Последний Лель”), сказочно-мифологический “Чертухинский балакирь” (1926), “Князь мира” (1928).
Выступал Клычков и с критическими статьями (“Лысая гора”, 1923; “Утверждение простоты”, 1929), переводами (в 1930-х; переводил эпосы народов СССР, народные песни и сказания; переводил произведения многих грузинских поэтов – Г. Леонидзе, Важа Пшавела и др., перевел знаменитую поэму Шота Руставели “Витязь в тигровой шкуре”).
Поэт был близко знаком с С. А. Есениным, С. Т. Коненковым.
В 1937 году Сергей Клычков был арестован по ложному обвинению, 8 октября 1937 года приговорен к смертной казни и в тот же день расстрелян. В 1956 году реабилитирован. В справке о реабилитации указана ложная дата смерти – 21 января 1940 года, перешедшая в некоторые издания.
Возможно, его прах в братской могиле на Донском кладбище в Москве.
В настоящее время на родине поэта, в селе Дубровки Талдомского района Московской области, существует мемориальный музей Клычкова.