Андрей Андреевич Нартов родился 25 ноября 1737 года в семье выдающегося механика петровской эпохи А. К. Нартова. С 1746 учился в немецком и латинском классах Академической гимназии, а затем в университете при Академии наук, откуда в 1750 поступил в Кадетский корпус. В 1755 выпущен из корпуса и оставлен при отце «для обучения секретных его инвенций» в области артиллерии.
В 1755 году был основан Императорский театр, и Нартов был одним из первых писателей, писавших пьесы для новой русской сцены, это были переводы комедий из Сен-Фуа, Детуша, Гольберга. Сотрудничал в ряде журналов, приобрел известность как переводчик. Наиболее известен его перевод с немецкого «Истории» Геродота. На поприще военной службы Нартов занимался исполнением важных поручений по технической части артиллерийского искусства, при починке орудий и изобретений разных машин, в 1758 г. он получает чин капитана, через год — майора, в 1763 г. — полковника.
В 1764-1765 выступил Андрей Нартов одним из организаторов «Вольного экономического общества» (ВЭО), 25 лет состоял его секретарем, затем 16 лет — президентом. Занимался организацией издания «Трудов ВЭО», вел обширную переписку с его корреспондентами (в т. ч. с А. Т. Болотовым).
В 1766 г. Нартов поступил в состоявший при Берг-Коллегии «особливой департамент по монетным делам», а в следующем году был депутатом от последнего в комиссии о сочинении проекта Нового Уложения и членом частной комиссии о полиции. Произведенный 27-го февр. 1770 г. в статские советники, Нартов в 1777 г. был назначен вице-президентом монетного департамента.
В 1772-1774 гг. Андрей Андреевич вместе с кн. М. М. Щербатовым и М. М. Херасковым был членом учрежденных Екатериной II комитетов «для составлении медалической со времен государя Императора Петра Великого истории». В то же время Нартов избирается почетным членом академии наук, такие же звания он получил впоследствии и от академии художеств, харьковского университета и стокгольмской академии. Стал инициатором составления «Науки российского стихотворства» и плана академических занятий-переводов. В 1801 Нартов назначен президентом Российской академии.
A. A. Нартов занимал видное место в обществе своего времени не только как крупный администратор, но и как писатель, член вольно-экономического общества, член академии наук, президент российской академии и масон. Как писатель, Нартов пользовался известностью драматурга-переводчика и стихотворца. Писал стихи в журналах и много переводил: комедии Лессинга, роман Лесажа, путешествие Анахарсиса, металлургию Скополи.
Скончался Андрей Андреивич Нартов в Петербурге 2-го апреля 1813 г., не оставив после себя никаких средств, и был похоронен (на Смоленском кладбище) на средства вольно-экономического общества.